ابو اشرف الثلاثاء ديسمبر 21, 2010 11:13 pm
تحليل المقدار الثلاثي ¬¬¬¬¬¬¬¬¬أ س2 + ب س + جـ
للمقدار الثلاثى حالتين هما :-
( 1 ) الحالة الأولى عندما أ = 1
( 2 ) الحالة الثانية عندما أ 1
بما أن أسلوب التدريس هو فن توصيل المعلومة بسرعة وفى زمن أقل ودون إرهاق للتلميذ فهذه هى طريقة سهلة وأسلوب مبسط لتحليل المقدار الثلاثى ومطبقة فى الميدان منذ عام 1996 م .
وهذه الطريقة
تعتمد على :-
• ) البدء بتدريس وشرح الحالة الثانية قبل الحالة الأولى. لأن الحالة الأولى تعتبر حالة خاصة من الحالة الثانية .
• ) سرعة تفكير الطالب والتيقظ والترقب وإثارة الإنتباه .
• ) تعتمد كذلك على سرعة البديهة وحل الألغاز والفوازير وذلك بتحويل المسألة إلى فزورة وبحل الفزورة نصل إلى التحليل .
وقبل البدء بتدريس التحليل نقوم بإستثارة إهتمام الطلاب وشحذ هممهم وترقبهم بشغف لمدة (( 5 – 10 )) دقيقة بإلقاء فوازير عليهم ومحاولة حلها مثل :-
نريد عددين حاصل ضربهما = 6 ومجموعهما = 5 هما [[ هما 2 ، 3 ]]
" " " " = 6 والفرق بينهما = 5 " [[ 6 ، 1 ]]
" " " " = 12 والفرق بينهما = 4 " [[ 6 ، 2 ]]
" " " " = 24 " = 5 " [[ 3 ، 8 ]]
" " " " = 24 " = 2 " [[ 4 ، 6]]
" " " " = 24 " = 10 " [[ 2 ، 12 ]]
" " " " = 36 " = 5 " [[ 4 ، 9 ]]
وهكذا ..............
المفروض بعد أن يسأل الطالب نفسه تلك الأسئلة أن يكون قد توصل إلى معرفة العددين . وبمجرد معرفته للعددين يكون التحليل سهل جداً . لأن مسألة التحليل سوف يترجمها الطالب إلى فزورة مثل الفوازير السابق عرضها فى بداية الحصة
خطوات تحليل المقدار الثلاثى أ س2 + ب س + جـ هى :-
(1 * ) نبحث عن عددين حاصل ضربهما = أ × جـ
#) إذا كانت إشارة جـ ( + ) " جمع " نقول ومجموعهما = ب
#) " " " جـ ( - ) " طرح " نقول والفرق بينهما = ب
أى نأخذ الكلمة من أفواه الطلاب من هذه الخطوة بعد أن يسأل الطالب نفسه السؤال السابق ( الفزورة )
يكون قد عرف العددين .
( 2 **) باستخدام فكرة المقص (( سهمين متقاطعين )) نجعل على كل سهم عدد من العددين الناتجين من
حل الفزورة
(3 *** ) بعد ذلك نضبط الإشارات وهى سهلة ومفهومة وليست بجديدة .
(( إذا كانت إشارة الحد الأخير { + }فإن إشارتي القوسين متشابهتين مثل إشارة الحد الأوسط ))
(( إذا كانت إشارة الحد الأخير { - } فإن إشارتي القوسين مختلفتين العدد الأكبر يأخذ إشارة الحد الأوسط..))
ثم نقوم بعد ذلك بعرض عدة أمثلة مختلفة للمقدار الجبرى الثلاثى وتدريب الطالب عليها فى كيفية ترجمتها إلى فزورة حتى يتم إتقانها مثل :-
1) 3 س¬¬¬¬2 +10 س +8 " الفزورة هى " عددان حاصل ضربهما =24 ومجموعهم = 10
2) 3 س¬2+7 س – 6 " " " " " = 18 والفرق بينهما = 7
3) 3 س2 + 10 س –8 " " " " = 24 " " = 10
4) 2س2 – 5 س -12 " " " " = 24 " " = 5
5) 9 س2 + 9 س - 4 " " " " = 36 " " = 9
دون التقيد بالإشارة
والحلول هى على الترتيب
( 4 ،6 ) ( 2 ، 9 ) ( 2 ، 12 ) ( 3 ، 8 ) ( 3 ، 12 ) ....وهكذا .... ونلاحظ التركيز هنا على إشارةالحد المطلق سالبة فى الأمثلة المعروضة حيث صعوبتها بعض الشىء عما لو كانت الإشارة موجب .
مثال ( 1 ) :- حلل 4 س2ــــ 5 س ـــ 6
الحل :-
الفزورة هى نبحث عن عددين حاصل ضربهما = 24 " دون التقيد بالإشارة " والفرق بينهما = 5 "دون التقيد بالإشارة " بالتفكير نصل الى أن العددين هما (( 3 ، 8 ))
نستخدم سهمين ونجعل على كل سهم عدد من الأعداد التى توصلنا إليها سهم عليه العدد 8 ،، وسهماآخر عليه العدد 3
بالنظر للعدد الأول [ 3 ] لكى نجعله على أحد السهمين بتحليل العددين "4"معامل س2 والحد المطلق "6 " فعند تحليل العدد 4 ( 2 × 2 أو 4 × 1 ) فلايمكن وضع العدد 2 أو العدد 4 على السهم الذي يعطى ناتجه العدد 3 لذلك نضع " 1 س " فى بداية السهم الأول ولما أننانريد العدد " 3 " على هذا السهم فنضع فى نهاية السهم الأول العدد " 3 "
[ فيعطى ضرب 1س × 3 = 3 س ]
ويكون فى بداية السهم الثانى 4 س وبما أننا نريد لهذا السهم العدد 8 نضع فى نهايته العدد 2
[ فيعطى ضرب 4 س × 2 = 8 س ]
لذلك نجد أن السهم 8 س هو العدد الأكبر والسهم 3 س هو العدد الأصغر " وهما العددان حل الفزورة " ثم نأتي بعد ذلك الى الخطوة الثالثة وهي ضبط الإشارات فنضع إشارة الحد الأوسط " – " للعد الأكبر , إماالعدد الأصغرفيأخذ الإشارة المخالفة " + "
وعملية ضبط الإشارات ليست بجديدة . وبهذا نكون وصلنا الى تحليل
4س2 ـــــ 5 س ــــ 6 = ( 4س+3 ) ( س ـــ 2 )
السهم الأول س ¬_ 2
السهم الثانى 4 س + 3
ومن هنا نلاحظ أننا لانلجأ الى التخمين والتجريب والتبديل والمسح والشطب بين عوامل العددين " 6 ، 4 " كما كان متبع من قبل وهو أسلوب ممل ومتعب ويستصعبه الطلاب بإجراء عدد من المحاولات ورسم المقصات بالتخمين والتجريب فمثلاً فى هذا المثال إذا أردنا تحليله بما كان متبع سوف نستخدم " 6 " محاولات ورسم " 6 " مقصات ومسح وشطب وتبديل وتغيير بل وقد ينصرف الطلاب عن المعلم في المحاولات الاولى لان المعلم سوف يؤخر المحاولة الصحيحة للآخرولكن فى هذه الطريقة نضع الأعداد مباشرة دون تردد ولاتغييرولاتبديل . ونلاحظ اننا وضعنا دائرة على الحد الاول في المقدار الثلاثي ووضعنا مربع على الحد الاخير وهذا لكي يعرف الطالب ان الحد الاول يتم تحليله الى عاملين ويوضع في اول كل سهم والحد الاخير يتم تحليله الى عاملين في نهاية كل سهم . نطبق هذا على مثالين أو ثلاثة حتى يتقن الطلاب الأسلوب .
مثال ( 2 ) : حلل مايلى 4 س2+9 س -9
الحل :
بترجمة المسألة إلى فزورة تصبح عددان حاصل ضربهما = 36 والفرق بينهما = 9 ..... بعد تفكير............ نجد أن
العددين هما " 3 ، 12 " ....
ثم نرسم سهمين مع الأخذ فى الإعتبار أن السهم الأول عليه العدد " 3 " يأتى من " 1 س × 3 " والسهم الثانى عليه العدد " 12 " يأتى من " 4 س ×3 "
وبالنسبة للإشارة فالعدد الأكبر " 12 س " يأخذ إشارة الحد الأوسط " + " والعدد " 3 س " يأخذ الإشارة المخالفة "
4 س2 + 9 س – 9 = ( س + 3 ) ( 4 س – 3 )
س + 3
4 س - 3
مثال ( 3 ) : حلل مايلى : 6 س2 – 13 س + 6
الحل : فزورة المسألة هى عددان حاصل ضربهما = 36 ومجموعهما = 13
وبالتفكير قليلاً نجد أن العددين هما " 9 ، 4 "
وللحصول على العدد 9 على السهم
الأول فلابد من تحليل العدد 6 س إلى 3 س أمام 3 س - 2
السهم الأول ونضع فى نهايته العدد 3 ليكون ناتج السهم الأول = 9س
[[ 3 س × 3 = 9 س ]]
وللحصول على العدد 4 س على السهم الثانى نضع العدد ۲ س أمام السهم 2 س - 3
الثانى وفى نهايته نضع ۲ فيكون ناتج السهم الثانى
[[ 2 س × 2 = 4 س ]]
فنجد أن الحد المطلق قد تحلل إلى ۲ ، 3 دون النظر إليه فيكون السهم الأول عليه العدد " 9 س " ويكون السهم الثانى عليه العدد " 4 س " وعملية ضبط الإشارات سهلة طالما أن الحد المطلق " + " فإن إشارتى القوسين متشابهتان مثل إشارة الحد الأوسط
(6 س2 -13 س + 6 ) = ( 3 س- ۲ ) ( ۲ س - 3 )
مثال ( 4 ) : حلل 5 ع2 + 12 ع - 9 5 ع - 3
الحل :
(5ع2 +12ع -9) = (5ع – 3 )( ع + 3 ) ع + 3
مثال ( 5 ) حلل : 7 م2 + 12م -4
الحل : 7م - 2
(7م2 +12م -4 )=(7 م – 2 )(م + 2 )
م + 2
ملاحظات هامة
لماذا بدأنا بتدريس الحالة الثانية ( أ 1 ) قبل تدريس الحالة الأولى ( أ = 1) للأسباب الآتية : –
(( 1 ))
إذابدأنا بتدريس الحالة الأولى أولاً مثل الأمثلة الآتية :
حلل مايلى: س - 2
( أ ) س2 + س - 6
الحل : (س -2 ) (س + 3 )
س + 3
ص - 7
( ب ) ص2 – 4 ص - 21
الحل: = ( ص – 7) ( ص + 3) ص + 3
( جـ ) ل2+ 4ل - 12 ل - 2
الحل : ( ل - ۲) ( ل + 6 ) ل + 6
وهكذا سوف نجد أنه عندما نسأل الطلاب عن العدد الأكبر لكى يأخذ إشارة الحد الأوسط ففى المثال ( أ ) يقولون العدد 3 وفى المثال ( ب ) يقولون العدد 7 وفى المثال ( جـ ) يقولون العدد 6 فسوف يلصق فى ذهن الطلاب أن العدد الأكبر الذي يأخذ إشارة الحد الأوسط هو العدد الناتج من تحليل الحد المطلق كما فى الأمثلة السابقة هذا إذا بدأنا بتدريس الحالة الأولى قبل الحالة الثانية ولما نأتى إلى تدريس الحالة الثانية بعد ذلك نجد اللبس والتخبط فى ذهن الطلاب فالمعلومة الخطأ تحتاج إلى مرحلتين هما ( محو الخطأ ، إحلال الصواب محلها ) ففى المثال ( 1 ) صفحة ۲ إذاسألنا الطلاب عن العدد الأكبر ليأخذ إشارة الحد الأوسط فتكون إجابتهم هو العدد 3 وهذا خطأ
(( 2 ))
كذلك لو سألنا الطلاب عن العدد الأكبرفى المثال(2) صفحة 3 والمثالين (4 ) ، ( 5 ) صفحة 4 فلايتكلمون وذلك لتساوى العددين الناتجين من تحليل الحد المطلق
(( 3 ))
إن هذه الطريقة لاتعتمد على كثرة رسم المقصات وعمل المحاولات والتخمين وإجهاد الطلاب . وطول فترة التركيزففى المثال ( 1 ) صفحة 2 إذا اردنا تحليله بالطرق العادية فسوف نرسم 6 مقصات خمس منها محاولات خطأ ومحاولة واحدة صواب . ولكن هذه الطريقة رسمنا مقص واحد والاعداد التي كتبناها لم نغيرها ولم نبدلها فالفزورة التي ترجمها الطالب حلت المسألة واتت بالعددين وهما " قوسين التحليل " بدلاً من التخمين والتغيير والتبديل وهو المطلوب .
2س 6 2س 3 س 1
2س 1 2س 2 4س 6
س 6 4س 2 4س 3
4س 1 س 3 س 2
(( 4 ))
الحالة الأولى حالة خاصة من الحالة الثانية . بمعنى أن الحالة الثانية أعم وأشمل من الحالة الأولى . أى أن :
بوضع أ = 1 فى المقدار أ س2 + ب س + جـ نحصل على س2 + ب س + جـ
(( 5 ))
إن تدريس الحالة العامة أولاً ثم إستنباط الحالات الخاصة يعتبر ذلك من أسلوب الإستنباط والإستنتاج والإستدلال فى إستراتيجية عرض المعلومة وتقديمها للطلاب ثم أن الحالة الأولى تعتبر تطبيق مباشر للحالة الثانية فلا تحتاج لمجهود .
(( 6 ))
إن طريقة التدريس هى فى نظرى فن توصيل معلومة وفى زمن أقل دون إجهاد للمتعلم فالطالب فى حاجة إلى أن تقدم المعلومة له بسرعة ودقة وإتقان فالمعلم الذي يقدم المعلومة للطالب بفهم فى 10 دقائق أفضل من المعلم الذى يأخذ وقت أطول فى توصيل نفس المعلومة بفرض ثبات درجة الفهم . حيث أنه غير صحيح أن نجهد الطالب في تعلم معلومة فمن الصعب أن تجذب إنتباه الطلاب لفترة طويلة في التركيز . لذلك كما هو واضح فى المثال الأول نلاحظ أن حل المسألة لم يستغرق وقت طويلاً وتم رسم مقص واحد فقط ولم نلجأ إلى خمس مقصات ولم ندخل الطالب فى دوامة التخمين والتجريب والتبديل فكل هذا يقوم به الطالب فى ذهنه عندما يترجم المسالة إلى فزورة ويقول العددان هما كذا وكذا وهذه الطريقة تنشط ذهن الطلاب وتثير إنتباههم وشحذ هممهم وينتظرون المسألة تلو الأخرى بشغف وترقب لما يترتب عليها من تفكير وإبداع وإثارة .
(( 7 ))
إن الدخول إلى التحليل بهذه الطريقة يكسب الطلاب القدرة على حساسية قابلية المقدار الثلاثى للتحليل من عدمه دون الحاجة إلى المميز [[ ب 2 - 4 أ جـ ]] وملاحظة الإشارة فمثلاً المقدار : 4 س2 + 5 س + 2 ( عددان حاصل ضربهما = 8 ومجموعهما = 5 ) فزورة ليس لها حل " في مستوى المرحلة الاعدادية " وبالتالى لايوجد للمقدار تحليل وهكذا .........
طريقة أخرى لتحليل المقدار الثلاثى: حلل 4س2 + 5س -6 نريد عددين حاصل ضربهما = 24 والفرق بينهما = 5 هما 8 , -3
إذن المقدار = 4س2 + ( 8 – 3 ) س -6
= 4س2 +8س -3س -6
= 4س ( س + 2 ) – 3 ( س + 2 )
= (س + 2 ) ( 4 س – 3 ) وهو التحليل المطلوب
الخاتمة :
بما أن أسلوب التدريس هو فن توصيل المعلومة بسرعة ودقة وإتقان دون خطأ وفى زمن أقل ودون إرهاق للتلميذ فهذه هى طريقة سهلة وأسلوب مبسط لتحليل المقدار الثلاثى وهذا جهد متواضع لعله يعود بالنفع على أبنائنا الطلاب. أتمنى من الله عزوجل أن يكون خالصاً لوجهه تعالى وأن يذلل صعوبات ماكان يواجه الطلاب من مشكلة في التحليل .
مع العلم بأنه لايجوز إجبار الطلاب على أسلوب معين في التدريس فقد ينفع هذا الأسلوب مع بعض الطلاب ولاينفع مع البعض الآخر. كذلك لاتوجد طريقة مثالية للتدريس .هذا والله الموفق والحمد لله رب العالمين . وما توفيقي إلا بالله .
رؤية وإعداد / رضا حجاج
موجه رياضيات العريش
شمال سيناء
قُبورُنا تُبنى ونحنُ ما تبنا .. .. .. ياليتنا تُبنا من قبلِ أَن تُبنى
